Suite de Newton

TP : Approximation de réels.

Partie A

On considère la suite \(u\) définie pour tout \(n\mathbb{\in N}\) par :

\[\begin{split}\left\{ \begin{matrix} u_{0} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ u_{n + 1} = \frac{1}{2}\left( u_{n} + \frac{2}{u_{n}} \right) \\ \end{matrix} \right.\end{split}\]

a) Résoudre l’équation :  \(x = \frac{1}{2}\left( x + \frac{2}{x} \right)\) ;

b) Montrer que : \(\left( u_{n} - \sqrt{2} \right)^{2} = 2u_{n}\ \left( u_{n + 1} - \sqrt{2} \right)\ \);

c) Montrer que : \(\left( u_{n} + \sqrt{2} \right)^{2} = 2u_{n}\ \left( u_{n + 1} + \sqrt{2} \right)\ \);

d) En déduire que :

\[\frac{\left( u_{n} - \sqrt{2} \right)^{2}}{\left( u_{n} + \sqrt{2} \right)^{2}} = \frac{u_{n + 1} - \sqrt{2}}{u_{n + 1} + \sqrt{2}}\]

e) En déduire que pour   \(n \geq 1\) ,  \(u_{n} - \sqrt{2} \geq 0\),

g) Montrer que pour  \(n \geq 1\) ,   \(u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 - u_{n}^{2}}{2u_{n}}\)  et en déduire que la suite  \(u\)  est décroissante à partir du rang 1.

h) Utiliser un théorème du cours pour déterminer la convergence de la suite \(u\).

TP : Algorithme

Partie B

Calcul d’une valeur approchée de \(\sqrt{2}\)

Programmer sur Python l’algorithme suivant :

Ancien Algorithme

Variables

p: un nombre entier naturel

q: un nombre réel

\(u_{n}\) : un nombre réel

u: un nombre réel

Entrée

Saisir p

Saisir u

Initialisation

a prend la valeur .\(10^{-p}\).

u prend la valeur 1

\(u_{n}\) prend la valeur \(\frac{1}{2} \times \left( u + \frac{1}{u} \right)\)

Traitement

Tant que \(\text{abs}\left( u_{n} - u \right) > a\)

u prend la valeur \(u_{n}\)

\(u_{n}\) prend la valeur \(\frac{1}{2} \times \left( u + \frac{1}{u} \right)\)

Fin Tant que

Sortie : Afficher u

Nouvel Algorithme

Fonction \(:f\left( u \right) = \frac{1}{2} \times \left( u + \frac{1}{u} \right)\)

\(a\ \leftarrow \ 10^{- p}\)

\(u\ \leftarrow 1\)

Tant que \(\text{abs}\left( f\left( u \right) - u \right) > a\):

\(u\ \leftarrow f(u)\)

Fin tant que
TP : Code final.

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Partie C

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