Réunion et intersection
1. Les ensembles de nombres
Nombres entiers, nombres réels:
ℕ : Ensemble des entiers naturels. ℕ={0;1;2;3;4;... ... ...}
ℤ : Ensemble des entiers relatifs. ℤ={0;-1;1;-2;2;-3;3;-4;4;... ... ...}
Définition :Les nombres rationnels :Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous forme d'une fraction avec a et b deux nombres entiers relatifs avec le dénominateur, b ≠ 0 l’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ ℚ ={0;-1;1;-2;2;-3;3;-4;4;... ... ...} Tout nombre rationnel non nul admet une seule écriture fractionnaire irréductible p q avec : p ∈ ℤ et q ∈ ℕ*,(q < 0) dans ce cas, 1 est le seul diviseur commun de p et q .
ℚ : Ensemble des nombres rationnels, de la forme p q ou p ∈ ℤ ( ℕ*= ℕ\{0} ) |
Les nombres décimaux sont des nombres rationnels
ⅅ : Ensemble des nombres décimaux, de la forme :
n 10...000 ou n ∈ ℤ, n 10...000 = n 10k , k est le nombre de 0.
Propriété :Un nombre décimal admet un développement décimal avec un nombre fini de chiffres. |
Remarque
Les nombres entiers naturels et les nombres entiers relatifs sont des nombres rationnels.
Définition :Un nombre réel est un nombre qui peut s’écrire avec une partie entière et un nombre infini de décimales. L’ensemble des nombres réels est noté ℝ . ℝ: Ensemble des nombres réels
ℝ = {...;-1000;...;-101,5;...;-π...;0;..;2;...;2π;... ... ...} |
Remarque :
Les nombres réels qui ne sont pas rationnels sont des nombres irrationnels.
2. Réunion et intersection des ensembles :
Définition :
L’intersection de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à l’ensemble A et à l’ensemble B.
La réunion de deux ensembles A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à l’ensemble A ou à l’ensemble B.
Notation :
Intersection de deux ensembles A et B : A ∩ B ,Réunion de deux ensembles A et B : A ∪ B
Tous les nombres de l’ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs ℤ. On dit que l’ensemble ℕ est inclus dans l’ensemble ℤ. On note : ℕ ⊂ ℤ.
|
Exemples :
1. Déterminer dans quel(s) ensemble(s) appartient chaque nombre :
| Nombre | -50.6 | 3 2 | -105 | 2 | π | 121 | - -2100 | 156 550 |
Ensemble |
2. Déterminer l’inclusion, l’intersection et la réunion des couples d’ensembles
| ℤ et ℝ | ℚ et ℕ | ℕ et ℤ | ℤ et ℝ | ℚ et ⅅ | |
Inclusion | |||||
Réunion | |||||
Intersection |
3. Les intervalles :
Définition :
Tous les nombres sont appelés nombres réels. On note ℤ l’ensemble de tous les nombres réels.
Il y a une infinité
de nombres réels. On note 
.
Certaines parties de 
sont des intervalles.
Si a et b sont deux nombres réels.
L’ensemble de tous les nombres réels contenus dans l’intervalle I :
· Compris entre a et
b se note 
;
· Supérieurs ou
égaux à b se note 
;
· Inférieurs ou
égaux à b se note 
;
· Si l’on souhaite exclure une borne, on tourne le crochet vers l’extérieur.
Exemples :
| Ensemble des nombres réels | Représentation graphique | Intervalle |
|
|
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3 7 |
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|
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|
3 7 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
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4. Valeur absolue :
La distance entre deux nombres est la différence entre le
plus grand et le plus petit. La distance entre deux nombres réels 
et 
est égale à :
Notation
Pour désigner la distance
entre les nombres réels et on utilise la notation 
(valeur absolue de 
)
Compléter le tableau :
| Nombre réel |
|
|
|
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| Valeur absolue |
|
|
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5. PYTHON :
Connaître les ensembles de nombres
La somme de deux entiers relatifs est un entier relatif.
La somme de deux entiers relatifs est un entier naturel.
La différence entre deux entiers relatifs est un entier relatif.
La différence entre deux entiers naturels est un entier naturel.
b) Suite de fibonacci \(u_{0} = 0;\ u_{1} = 1;\text{et} u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_{n}\)
Algo et Python
7. EXERCICES :
Automatismes et calcul mental Parcours 1 Donner la notation des ensembles
Ensemble des entiers naturels :
Ensemble des entiers relatifs :
Ensemble des nombres réels :
Ensemble des nombres rationnels :
Ensemble des nombres décimaux :
Problèmes
EXERCICE 1 :
Compléter par « est » ou « n’est pas ».
\[\mathbf{-2}\]
|
… |
est un entier relatif |
|---|---|---|
\[\mathbf{2,4 }\]
|
… |
n’est. pas un entier naturel. |
\[\mathbf{3}\]
|
… |
est un entier relatif. |
\[\mathbf{3/4}\]
|
… |
n’est pas un entier naturel. |
\[\mathbf{0}\]
|
… |
est un entier relatif. |
EXERCICE 2 :
Compléter avec le symbole € (appartient à) ou (n’appartient pas à).
\[\mathbf{3}\]
|
\[\mathbf{3,4}\]
|
\[\mathbf{-4}\]
|
||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\[\mathbf{3/10}\]
|
\[\mathbf{-12}\]
|
\[\mathbf{18/2}\]
|
||||||
\[\mathbf{13}\]
|
\[\mathbf{-13/2}\]
|
\[\mathbf{15/5}\]
|
EXERCICE 3 :
Compléter par « est » ou « n’est pas ».
\[\mathbf{-2}\]
|
… |
un nombre rationnel |
|---|---|---|
\[\mathbf{1/3}\]
|
… |
un nombre décimal |
\[\mathbf{3/2}\]
|
… |
un nombre décimal |
\[\mathbf{3/4}\]
|
… |
un nombre réel |